МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«МАЛОКУДАРИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: «Логические задачи

Выполнил работу:

Игумнов Матвей, ученик 3 класса

МБОУ «Малокударинская средняя общеобразовательная школа»

Руководитель: Серебренникова М.Д.

1. ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………..3-4

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Что такое логика ……………………………………………………. …5

Виды логических задач…………………………………………………………6

Решение логической задачи…………………………………………………….10

Практическая часть…………………………………………………….. 10-12

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………… 14

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ-ИСТОЧНИКОВ ………. 15

5. ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение

Развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач, логических.

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни геометрических фигур, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между объектами задачи.

Готовя данную работу, я ставил цель - развить свои способности умения рассуждать и делать правильные выводы. Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это у меня вызывает и сохраняет интерес к математике. Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

Цель исследования: может ли логическая задача иметь несколько правильных ответов

Задачи: 1) ознакомление с понятиями «логика» и видами логических задач; 2) решение логической задачи, определение зависимости изменения ответа задачи от величины орехов

Методы исследований: сбор, изучение материала, сравнение, анализ

Гипотеза если мы будем менять величину орехов, то будет ли меняться ответ задачи.
Область исследования : логическая задача.

Что такое логика?

В научной литературе можно найти следующие определения логики:

Логика - наука о приемлимых способах рассуждения.

Логика - наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

Логика - наука о правильном мышлении.

Логика - одна из древнейших наук. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.

Как научиться решать логические задачи? Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения.

Типы логических задач

1«Кто есть кто?»

2 Тактические задачи Решение тактических и теоретико-множественных задач заключается в составлении плана действий, который приводит к правильному ответу. Сложность состоит в том, что выбор нужно сделать из очень большого числа вариантов, т.е. эти возможности не известны, их нужно придумать.

3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств

4 Буквенные и числовые ребусы и задачи со звездочками

Методом подбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примеры со звездочками.

5 Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний

6 Задачи типа «Шляпы»

Наиболее известна задача про мудрецов, которым нужно определить цвет шляпы на своей голове. Чтобы решить такую задачу, нужно восстановить цепочку логических рассуждений.

РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Существует много видов орехов. Выясним, зависит ли ответ этой задачи от величины орехов?
Рассмотрим некоторые из них.

ГРЕЦКИЙ ОРЕХ

В диаметре 2-3 см

Жёлто-коричневые орехи имеют практически шарообразную форму, длину 15-25 мм и ширину 12-20 мм.

ВОДЯНОЙ ОРЕХ

имеющим величину 2-2,5 сантиметров

По размеру они бывают от 1,5 до 1,7 см.

от 4 до 6 см в диаметре

МУСКАТНЫЙ ОРЕХ

Готовый орех имеет овальную форму 2-3 см - в длину и 1,5-2 см - в ширину

МАКАДАМИЯ

Спелый орех имеет шарообразную форму и диаметр 1,5-2 см.

Плод достаточно крупный и может достигать в длину порядка 5 см.

БРАЗИЛЬСКИЙ ОРЕХ

Размеры плодов достигают 10-15 см в диаметре и 1-2 кг по весу.

КЕДРОВЫЕ ОРЕХИ

Самыми мелкими считаются кедровые орехи. Причём, их размеры зависят от вида. Орехи кедра европейского, сибирского кедрового стланика и корейского кедра отличаются по размеру. Среди них самые мелкие – орехи кедрового стланика. Их длина 5 мм.

Вывод: видов орехов существует много. Они имеют разную величину: в диаметре. Поэтому в задачу мы подставляем орехи разной величины.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Практические работы.
Работа №1 . Практическая работа с грецкими орехами.
Инструменты и материалы : линейка, мел, цветные мерки, 10 штук грецких орехов.
Подготовительная работа . Из цветного картона вырезаем мерки: 3 мерки из зелёного картона по 2 см длиной и 2 см шириной для первого ряда и 5 мерок из жёлтого картона по 1 см длиной и по 2см шириной для второго ряда.
Описание работы. На столе отмечаем мелом точку. На неё кладём орех. Кладём мерку в 2см и второй орех, мерку в 2 см и третий орех, мерку в 2 см и четвёртый орех. Мелом отмечаем начало и конец длины первого ряда. Начало второго ряда чётко отмечаем мелом под началом

первого и кладём орех, мерку в 1 см и второй орех, мерку в 1 см и третий, мерку и четвёртый, мерку и пятый, мерку и шестой. Конец длины второго ряда отмечаем мелом. Сравниваем длину рядов.
Ответ: длиннее второй ряд.
2. Практическая работа с кедровыми орехами. (См. описание работы №1.)

Ответ : длиннее второй ряд.

3. Практическая работа с лесными орехами (фундук).

(См. описание работы №1.)
Ответ : длиннее второй ряд.
4. Практическая работа с арахисом. (Рис.4)

(См. описание работы №1.)
Ответ:: длиннее второй ряд.
Вывод: ответ задачи не меняется от изменения величины этих орехов.

Все орехи больше 5 мм.
ЧЕРТЕЖИ
Проверим это на чертежах, применяя масштаб.
Масштаб 1. Отношение длины линий на карте, чертеже к действительной длине.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Моя гипотеза подтвердилась: при изменении величины орехов изменяется ответ задачи
Вывод: При размере орехов до 5 мм длиннее первый ряд.
При размере орехов 5 мм длина рядов одинакова.
При размере орехов больше 5 мм длиннее второй ряд.

Практическая значимость . Способы решения, предложенные в работе очень просты, ими может воспользоваться любой учащийся. Их я показал своим друзьям. Такой задачей заинтересовались многие ученики. Теперь при решении логических задач каждый будет задумываться над её ответом.
Перспективы : Мне очень понравилось проводить эксперименты с орехами, расставлять их, искать ответ. Со всеми своими выводами я поделился с друзьями и одноклассниками. Логические задачи меня заинтересовали: в будущем хочу попробовать составить свою задачу такую же интересную, с разными вариантами ответа.

Я попробовал изменить условие задачи. За промежутки между орехами взял метры. Подставляя орехи разной величины, у меня получился одинаковый ответ: длиннее первый ряд. Почему же так? Я начал ещё всё раз измерять: всё так же. Если я увеличил промежутки в 100 раз, то величину орехов тоже надо увеличивать в 100 раз. Теперь я понял, что такого большого ореха в 50 см и больше у меня нет. Все орехи меньше 50 см. По моему выводу, чтобы длины были равны, орех должен быть 50см, а если он будет больше 50 см, то длиннее будет второй ряд. Значит, мой вывод подходит и для такой задачи.

6.Заключение

В данной работе Вы познакомились с логическими задачами. Вашему вниманию были предложены различные варианты решения логической задачи.

У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике.

Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи.

Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.

Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено.

Литература
1. Ожегов С.И. и Шведова Н.Ю.Толковый словарь русского языка: 80000слов и фразеологических выражений/Российская академия наук. Институт русского языка им.В.В.Виноградова.- 4-е изд., дополненное. – М.: Азбуковник, 1999. – 944 стр.

2. Энциклопедия для детей. Биология. Том 2. «Аванта+»», М.Аксёнов, С.Исмаилова,

М.: «Аванта+», 1995

3. Я познаю мир: Дет.Энцик.: Растения/ Сост.Л.А.Багрова; Худ.А.В.Кардашук, О.М.Войтенко;

Под общ. ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. – 512 с.

4. Энциклопедия живой природы.- М.: АСТ-ПРЕСС, 2000.- 328с.

5. Рик Моррис. Тайны живой природы (перевод с английского А.М.Голова), М.: «Росмэн», 1996.

6. Дэвид Берни. Большая иллюстрированная энциклопедия живой природы (перевод с английского) М.: «Махаон», 2006

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема дипломной работы

«Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах»

математический логика начальный

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Понятие логической структуры математических понятий и предложений

1.2 Изучение логики как раздела математики

1.3 Логические рассуждения

Выводы по 1 главе

Глава 2. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

2.1 Использование элементов логики в начальном курсе математике

2.2 Психолого-педагогические основы использования элементов математической логики по УМК «Перспективная начальная школа»

2.3 Система заданий, нацеленная на формирование понятия «элементы математической логики» у учащихся по окончанию начальной школы

Выводы по 2 главе

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

В настоящее время в стране ведутся интенсивные поиски путей усовершенствования математического образования. На основании Федерального Государственного образовательного Стандарта Нового Общего Образования учащиеся начальной школы должны придерживаться требований к результатам освоения основной образовательной программы начального общего образования по предмету математика:

1) использовать начальные математические знания для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений;

2) овладеть основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

3) уметь выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные .

На сегодняшний день, математическое образование является частью системы среднего образования и в то же время своеобразной самостоятельной ступенью обучения. Новое содержание математического образования ориентировано главным образом на формирование культуры и самостоятельности мышления младших школьников, элементов учебной деятельности средствами и методами математики. В ходе обучения дети должны научиться общим способам действия, осуществляя пошаговый контроль и самооценку выполненной деятельности, чтобы установить соответствие своих действий намеченному плану.

Именно поэтому, не случайно в программах по математике особое внимание уделяется формированию алгоритмической, логической и комбинаторной линии, которые получают свое развитие в процессе изучения арифметических, алгебраических и геометрических разделов программы .

В работах математиков А.Н. Колмогорова , А.И. Маркушевича А.С. Столяра , A.M. Пышкало , П.М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики.

В последнее десятилетие, когда школа вступила в процесс модернизации, в практику внедряются новые стандарты, технологии, методики, разные учебные пособия, вопрос о преемственности в обучении между начальной и основной ступенями становится наиболее важным. Наличие комплекта учебников - важная составляющая преемственности между этими ступенями. По словам А.А. Столяра «необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы» .

Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Л.В.Занкова , В.В. Давыдова , Н.М.Скаткина и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого уровня знаний, умений и навыков, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения .

На наш взгляд, в психолого-методической литературе проблема формирования элементов математической логики у учащихся рассмотрена частично, применительно к обучению математике в старших классах.

Таким образом, числовое множество, начиная с первых же классов общеобразовательной школы, представляет ту лабораторию, где можно более отчетливо формировать у учащихся навыки рассуждений, являющихся основой выяснения истинности или ложности того или иного подхода, той или иной постановки задачи. Возникает вопрос: "Является ли такая задача главной целью процесса обучения математике в школе и какая доля этой проблемы приходится на начальную школу"? Ответ на этот вопрос может быть получен только после тщательного анализа программы и учебников по математике для I - IV классов .

Актуальность проблемы является совершенствование содержания обучения математике в начальных классах с целью формирования элементов математической логики у младших школьников.

Целью исследования рассмотреть изучение элементов математической логики в рамках курса математики при обучении математики в 1-4 классах и разработать учебно-методические средства для ее реализации.

Объект исследования - процесс изучения элементов математической логики при обучении на уроках математики в начальной школе.

Предмет - методы и средства формирования у учащихся 1-4 классов элементов математической логики.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует возможность организации процесса обучения математике, которые наряду с подготовкой математических знаний и умений сознательно и систематически мы будем развивать логические навыки.

Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы были определены следующие задачи исследования :

1. Дать понятие логической структуры математических понятий и предложений;

2. Изучить логику как науку и раздел математики;

3. Выяснить что такое логические рассуждения и дать их определения;

4. Проанализировать стандарты образования, учебные программы и действующие школьные учебники по математике с точки зрения логического развития учащихся;

5. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах;

6. Провести экспериментальное исследование по проверке эффективности разработанных методик в условиях начальной школы.

Теоретико-методологическую основу исследования составили: основные положения диалектико-материалистической философии и разработанное на их основе учение о личностно-деятельном подходе в обучении (А.С.Выготский , А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн и др.); исходные положения теории развивающего обучения (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.Б.Эльконин , Н.В.Якиманская и др.); основополагающие идеи методистов-математиков (А.М. Пышкало, П.М.Эрдниев).

Глава 1. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

1.1 Понятие логической структуры математических понятий и предложений

Изучая математику в школе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно понять каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства.

Такие знания нужны учителю начальных классов потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и т.д. Во ворую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и т.п. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и др. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением .

Чтобы изучать такое обилие самых разных понятий, необходимо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Чтобы сделать мысль о предмете означает иметь возможность отличить его от других аналогичных объектов. Математические понятия имеют ряд особенностей. Главным является то, что математические объекты, в отношении которых формируются концепции, на самом деле не существует. Все математические объекты создаются умом человека. Идеально подходит объектов, что отражает реальные предметы или явления.

Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

Изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введённых понятий.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина или замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но формулируя определения, придерживаются ряда правил:

· Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы, определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы;

· В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него. Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия. А их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений;

· Определение должно быть ясным. Это не первый взгляд очевидное правило, но оно означает многое. Прежде всего, требуется, чтобы значение терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия. К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используют редко. Понятий в начальном курсе математики очень много.

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации. Описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения.

Остенсивные определения - определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Например, таким путем можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства.

Изучение реальных процессов, математические описания, использут как естественный вербальный язык и символическое значение. Описания построены с помощью предложений. Но, что математическое знание будет точное, адекватное отражение реальности, которая нас окружает, эти предложения должны быть правдой. Каждый математический тезис характеризуется содержанием и логической форме (структуре) и содержание неразрывно связано с формой, и невозможно понять первое, не понимать второго.

1) Число 12 - четное;

Мы видим, что предложения, используемые в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. О предложениях 1,4,5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а о предложении 2 - ложную. Относительно предложения х +5 = 8 вообще нельзя сказать истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции - истинно или ложь привел к понятию высказывания.

1.2 Изучение логики как раздела математики

Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Как указывает Ивин А.А. , отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в индии, в конце II тысячелетия до н.э. однако если говорить о возникновении логики как науки, то есть о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V - IV веках до н.э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Платона и Сократа были заложены основы этой науки. Родоначальником же, «отцом» логики, по праву считается величайший мыслитель древности. Ученик Платона - Аристотель (384-322 гг. до н.э.). именно он в своих трудах, объединенных общим названием «Органон» (орудие познания), впервые обстоятельно проанализировал и описал основные логические формы и правила рассуждений, а именно: формы выводов из так называемых категорических суждений - категорический силлогизм («Первая аналитика»), сформулировал основные принципы научных доказательств («Вторая аналитика»), дал анализ смысла некоторых видов высказываний («Об истолковании»), наметил основные подходы к разработке учения о понятии («Категории»). Серьезное внимание Аристотель уделял также разоблачению различного рода логических ошибок и софистических приемов в спорах («О софистических опровержениях»).

Логика имеет долгую и богатую историю, неразрывно связанную с историей развития общества в целом.

Возникновению логики как теории предшествовала уходящая в глубь тысячелетий практика мышления. С развитием трудовой, материально-производственной деятельности людей шло постепенное совершенствование и развитие их мыслительных способностей, прежде всего способности к абстракции и умозаключению. А это рано или поздно, но неизбежно должно было привести к тому, что объектом исследования стало само мышление с его формами и законами.

Как указывает Ивин А.А. , история свидетельствует, что отдельные логические проблемы возникают перед мыслительным взором человека уже свыше2,5 тыс. лет назад - сначала в Древней Индии и древнем Китае. Затем они получают более полную разработку в Древней Греции и Риме. Лишь постепенно складывается более или менее стройная система логических знаний, оформляется самостоятельная наука.

Каковы причины возникновения логики? Ивин А.А. считает, что основными являются две. Одна из них - зарождение и первоначальное развитие наук, прежде всего математики. Этот процесс относится к VI в. До н.э. и получает наиболее полное развитие в Древней Греции. Рождаясь в борьбе с мифологией и религией, наука основывалась на теоретическом мышлении, предполагающем умозаключения и доказательства. Отсюда - необходимость исследования природы самого мышления как средства познания.

По мнению Курбатова В.И. , логика и возникла, прежде всего, как попытка выявить и обосновать те требования, которым должно удовлетворять научное мышление, чтобы его результаты соответствовали - действительности.

Другая, пожалуй, еще более важная причина - это развитие ораторского искусства, в том числе судебного, которое расцвело в условиях древнегреческой демократии. Величайший римский оратор и ученый Цицерон (106-43 гг. до н.э.), говоря о могуществе оратора, обладателя «божественного дара» - красноречия, подчеркивал: «Он может безопасно пребывать даже среди вооруженных врагов, огражденный не столько своим жезлом, сколько своим званием оратора; он может своим словом вызвать негодование сограждан и низвергнуть кару на виноватого в преступлении и обмане, а невинного силою своего дарования спасти от суда и наказания; он способен побудить робкий и нерешительный народ к подвигу, способен вывести его из заблуждения, способен воспламенить против негодяев и унять ропот против достойных мужей; он умеет, наконец, одним своим словом и взволновать и успокоить любые людские страсти, когда это требует обстоятельства дела» .

По словам Ивина А.А., основателем логики - или, как иногда говорят «отцом логики» - принято считать крупнейшего древнегреческого философа и ученого-энциклопедиста Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Следует, однако, учитывать, что первое довольно развернутое и систематическое изложение логических проблем фактически дал более ранний древнегреческий философ и естествоиспытатель Демокрит (460- примерно 370 г. До н.э.). Среди его многочисленных трудов был и обширный трактат в трех книгах «О логическом, или О канонах». Здесь не только были раскрыты сущность познания, его основные формы и критерии истины, но и показана огромная роль логических рассуждений в познании, дана классификация суждений. Подвергнуты решительной критике некоторые виды выводного знания и предпринята попытка разработать индуктивную логику - логику опытного знания. К сожалению, этот трактат Демокрита, как и все остальные, до нас не дошел.

Новый, более высокий этап в развитии логики начинается с XVII в. Этот этап органически связан с созданием в ее рамках наряду с дедуктивной логикой логики индуктивной. В ней нашли отражение многообразные процессы получения общих знаний на основе все более накапливавшегося эмпирического материала. Потребность в получении таких знаний наиболее полно осознал и выразил в своих трудах выдающийся английский философ и естествоиспытатель Ф.Бэкон (1561-1626). Он и стал родоначальником индуктивной логики. «…логика, которая теперь имеется, бесполезна для открытия знаний», - вынес он свой суровый приговор . Поэтому как бы в противовес старому «Органону» Аристотеля Бэкон написал «Новый Органон…», где изложил индуктивную логику. Главное внимание в ней он обратил на разработку индуктивных методов определения причинной зависимости явлений. В этом огромная заслуга Бэкона. Однако созданное им учение об индукции по иронии судьбы оказалось не отрицанием предшествующей логики. А ее дальнейшим обогащением и развитие. Оно способствовало созданию обобщенной теории умозаключений. И это естественно, ибо, как будет показано ниже, индукция и дедукция не исключает, а предполагают друг друга и находятся в органическом единстве.

Известный вклад в развитие традиционной формальной логики внесли русские ученые. Так, уже в первых трактатах по логике начиная приблизительно с X в. предпринимались попытки самостоятельного комментирования трудов Аристотеля и других ученых. Оригинальные логические концепции в России разрабатывались в XVIII в. и связаны прежде всего с именами М.Ломоносова (1711-1765) и А.Радищева (1749-1802). Расцвет логических исследований в нашей стране относится к концу XIXв.

Грандиозную попытку выработать целостную систему новой, диалектической логики предпринял немецкий философ - Г.Гегель (1770-1831). В своем основополагающем труде «Наука логики» он, прежде всего, раскрыл фундаментальное противоречие между наличными логическими теориями и действительной практикой мышления, которое к тому времени достигло значительных высот.

Как указывает Курбатов В.И., Гегель заново подверг исследованию природу мышления, его законы и формы. В этой связи он пришел к выводу, что «диалектика составляет природу самого мышления, что в, качестве рассудка оно должно впадать в отрицание самого себя, в противоречие». Свою задачу мыслитель видел в том, чтобы найти способ разрешения этих противоречий. Гегель подверг жесточайшей критике прежнюю, обычную логику за ее связь с метафизическим методом познания. Но в этой своей критике зашел так далеко, что отверг ее принципы, основанные на законе тождества и законе противоречия.

Ивин А.А. говорит, что проблемы диалектической логики, ее соотношения с формальной нашли дальнейшую конкретизацию и развитие в трудах философов и ученых Германии К.Маркса)1818-1883) и Ф.Энгельса (1820-1895). Используя богатейший мыслительный материал, накопленный философией, естественными и общественными науками, они создали качественную новую, диалектико-материалистическую систему, которая нашла воплощение в таких произведениях, как «Капитал» К.Маркса, «Анти-Дюринг» и «Диалектика природы» Ф.Энгельса. с этих общефилософских позиций Маркс и Энгельс и оценивали специальное «учение о мышлении и его законах» - логику и диалектику. Они не отрицали значение формальной логики, не считали ее «бессмыслицей», но подчеркивали ее исторический характер. Так, Энгельс отмечал, что теоретическое мышление каждой эпохи - это исторический продукт, принимающий в различные времена очень различные формы и вместе с тем очень различное содержание. «Следовательно, наука о мышлении, как и всякая другая наука, есть историческая наука, наука об историческом развитии человеческого мышления» .

В последние десятилетия в нашей стране предпринято не мало плодотворных попыток систематического изложения диалектической логики. Разработки идут в двух магистральных направлениях. С одной стороны, это раскрытие закономерностей отражения в человеческом мышлении развивающейся действительности, ее объективных противоречий, а с другой - раскрытие закономерностей развития самого мышления, его собственной диалектики.

В условиях научно-технической революции, когда науки переходят на новые, более глубокие уровни познания и когда возрастает роль диалектического мышления, потребность в диалектической логике все более усиливается. Она получает новые стимулы для своего дальнейшего развития.

Подлинную революцию в логических исследованиях вызвало создание во второй половине 19 века математической логики, которая получила еще название символической и обозначила новый, современный этап в развитии логики.

Зачатки этой логики прослеживаются уже у Аристотеля, а так же у его последователей, стоиков в виде элементов логики предикатов и теории модальных выводов, а также логики высказываний. Однако систематическая разработка ее проблем относится к гораздо более позднему времени.

Как указывает Ивин А.А., растущие успехи в развитии математики и проникновение математических методов в другие науки уже во второй половине 17 века настоятельно выдвигали две фундаментальные проблемы. С одной стороны, это применение логики для разработки теоретических оснований математики, а с другой - математизация самой логики как науки. Наиболее глубокую и плодотворную попытку решить вставшие проблемы предпринял крупнейший немецкий философ и математик Г.Лейбниц (1646-1416). Тем самым он стал, по существу, зачинателем математической логики. Лейбниц мечтал о том времени, когда ученые будут заниматься не эмпирическими исследованиями, а исчислениями с карандашом в руках. Он стремился изобрести для этого универсальный символический язык, посредством которого можно было бы рационализировать любую эмпирическую науку. Новое знание, по его мнению, будет результатом логической калькуляции - исчисления.

По мнению Курбатова В.И., идеи Лейбница получили некоторое развитие в 18 веке и первой половине 19 века. Однако наиболее благоприятные условия для мощного развития символической логики сложились лишь со второй половины 19 века. К этому времени математизация наук достигла особенно значительного прогресса, а в самой математике возникли новые фундаментальные проблемы ее обоснования. Английский ученый, математик и логик Жд. Буль (1815-1864) в своих работах, прежде всего, применял математику к логике. Он дал математический анализ теории умозаключений, выработал логическое исчисление («Булева алгебра»). Немецкий логик и математик Г.Фреге (1848-1925) применил логику для исследования математики. Посредством расширенного исчисления предикатов он построил формализованную систему арифметики.

Так открылся новый, современный этап в развитии логических исследований. Пожалуй, наиболее важная отличительная особенность этого этапа состоит в разработке и использовании новых методов решения традиционных логических проблем. Это разработка и применение искусственного, так называемого формализованного языка - языка символов, т.е. буквенных и других знаков (отсюда и наиболее общее наименование современной логики - «символическая»).

Как указывает Ивин А.А. , различают два вида логических исчислений: исчисление высказываний и исчисление предикатов. При первом допускается отвлечение от внутренней, понятийной структуры суждений, а при втором эта структура учитывается и соответственно символический язык обогащается, дополняется новыми знаками.

Значение символических языков в логике трудно переоценить. Г.Фреге сравнивал его со значением телескопа и микроскопа. А немецкий философ Г.Клаус (1912-1974) считал, что создание формализованного языка имело для техники логического вывода такое же значение, какое в сфере производства имел переход от ручного труда к машинному. Возникая на основе традиционной формальной логики, символическая логика, с одной стороны, уточняет, углубляет и обобщает прежние представления о логических законах и формах, особенно в теории выводов, а с другой - все более значительно расширяет и обогащает логическую проблематику. Современная логика - сложнейшая и высокоразвитая система знаний. Она включает в себя множество направлений, отдельных, относительно самостоятельных «логик», все более полно выражающих запросы практики и в конечном счете отражающих многообразие сложность окружающего мира, единство и многообразие самого мышления об этом мире.

Символическая логика находит все более широкое применение в других науках - не только в математике, но и в физике, биологии, кибернетике, экономике, лингвистике. Она приводит к возникновению новых отраслей знаний (математика). Особенно впечатляюща и наглядна роль логики в сфере производства. Открывая возможность как бы автоматизировать процесс рассуждений, она позволяет передать некоторые функции мышления техническим устройствам. Ее результаты находят все более широкое применение в технике: при создании релейно-контактных схем, вычислительных машин, информационно-логических систем и т.д. По образному выражению одного из ученых, современная логика - это не только «инструмент» точной мысли, но и «мысль» точного инструмента, электронного автомата. Достижения современной логики используется и в правовой сфере. Так, в криминалистике на разных этапах исследования производится логико-математическая обработка собранной информации.

Растущие потребности научно-технического прогресса обуславливают дальнейшее интенсивное развитие современной логики.

Остается сказать, что в разработку систем символической логики внесли важный вклад русские ученые. Среди них особенно выделяется П.Порецкий (1846-1907). Он первым в России начал чтение лекций по математической логике. Математическая логика продолжается развиваться и сейчас.

По мнению Курбатова В.И., изучение математической логики дисциплинирует ум. Вспоминая известное изречение М.В.Ломоносова о математике, можно сказать, что математическая логика более чем какая-либо другая математическая наука «ум в порядок приводит».

Язык любой алгебры состоит из множества знаков, называемого алфавитом этого языка.

Знаки алфавита по аналогии со знаками алфавита естественного языка называют буквами.

Естественно возникает вопрос: какие буквы должны содержаться в алфавите языка числовой алгебры?

Прежде всего, очевидно, мы должны иметь буквы для обозначения элементов множества -- носителя алгебры, в данном случае для обозначения чисел, и переменные для элементов этого множества.

Применяя для обозначения чисел десятичную систему счисления, мы должны включить в алфавит числовой алгебры десять букв, называемых цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых по определенным правилам конструируются названия любых чисел.

В качестве числовых переменных (переменных для чисел любого из множеств N, N0, Z, Q или R) применяются буквы латинского алфавита а, Ъ, с, х, у, z или одна какая-нибудь из этих букв с индексом, например Х1, X2, Xn.

Иногда буквы латинского алфавита применяются и в качестве числовых постоянных, т. е. в качестве названий чисел (когда речь идет об определенном, но не важно, каком именно, конкретном числе). В таком случае начальные буквы латинского алфавита а, b, с обычно применяются в качестве постоянных, а последние буквы х, у, z -- в качестве переменных.

Нам нужны также буквы для обозначения операций. Для сложения и умножения применяются известные знаки (буквы) + и * соответственно.

Кроме того, роль знаков препинания в языке алгебры играют скобки (левая и правая).

Таким образом, алфавит языка, на котором описывается какая-нибудь числовая алгебра, должен включать множество, состоящее из четырех классов букв: I -- цифры, из которых конструируются названия чисел; II -- буквы латинского алфавита -- числовые переменные или постоянные; III -- знаки операций; IV -- скобки.

Знаки вычитания (--) и деления (:) могут быть введены определениями соответствующих операций.

Постепенно алфавит числовой алгебры дополняется и другими «буквами», в частности, вводятся знаки бинарных отношений «равно», «меньше», «больше».

Все перечисленные знаки входят в алфавит математического языка, языка искусственного, возникшего в связи с необходимостью в точных, сжатых и однозначно понимаемых формулировках математических законов, правил, доказательств.

Исторически символика математики создавалась веками при участии многих выдающихся ученых. Так, считают, что обозначение неизвестных величин буквами использовал еще Диофант (III в.), широкое применение прописных букв латинского алфавита в алгебре началось с Виета (XVI в.). строчные буквы этого алфавита ввел для обозначения Р.Декарт (XVII в.). знак равенства (=) впервые появился в работах английского ученого Р.Рекорда (XVI в.), но стал он общеупотребительным только в XVIII веке. Знаки неравенства (< , >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки «=», «>», «<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Высказывание в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например. В начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) Число 12 - четное;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если … , то …», «либо … , либо …», «в том и только в том случае, если», а так же частицу «не». Пусть, например, А означает высказывание «Сейчас солнечно», а В - высказывание «Сейчас ветрено». Тогда высказывание «А и В» означает: «Сейчас солнечно и ветрено», высказывание «Если не А, то и не В» - «Если сейчас не солнечно, то и не ветрено».

Такие высказывания называются составными, а входящие в них высказывания А и В - элементарными высказываниями. Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны и одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. В этом случае пишут: А=В.

Уже с первого урока математики учащиеся начальных классов встречаются с высказываниями, в основном, с истинными. Они знакомятся с такими высказываниями: 2 > 1, 1 < 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Если А - некоторое высказывание, то, утверждая, что оно ложно, мы получаем новое высказывание, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают символом В.

Таким образом, если некоторое высказывание истинно, то его отрицание ложно, и наоборот. Этот вывод можно записать при помощи таблицы, в которой «И» означает истинное высказывание, а «Л» - ложное. Таблицы подобного вида называют таблицами истинности (см. прил.2 рис.1) .

Пусть А и В - два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и», получим новое высказывание, которое называется конъюнкцией данных высказываний и обозначается А? В. Запись А? В читают: «А и В».

По определению, конъюнкция двух высказываний истина в том и только в том случае, когда истины оба высказывания. Если же хотя бы одно из них ложно, то и конъюнкция ложна (см. прил.2 рис.2) .

Рассмотрим высказывание «7 - 4 = 3 и 4 - четное число». Оно является конъюнкцией двух высказываний: «7 - 4 = 3» и «4 - четное число». Так как оба высказывания истинны, то и их конъюнкция является истинной.

Если в конъюнкции А? В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В? А. Из таблицы истинности видно, что формулы А? В и В? А при различных значениях высказываний А и В либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Следовательно, они равносильны, и для любых высказываний А и В имеем: А? В = В? А

Эта запись выражает коммутативное свойство конъюнкции, позволяющее менять местами члены конъюнкции.

Составив таблицы истинности для (А? В) ? С и А? (В? С), получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В, С значения истинности высказываний (А? В) ? С и А? (В? С) совпадают.

Таким образом, (А? В) ? С = А? (В? С).

Это равенство выражает свойство ассоциативности конъюнкции. Такая конъюнкция истина тогда и только тогда, когда все входящие в нее высказывания истины.

Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или», получим новое высказывание, называемое дизъюнкцией данных высказываний . Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают А?В и читают «А или В». Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба высказывания, из которых она образована, ложны; во всех остальных случаях дизъюнкция истинна. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид (см. прил.2 рис.3) .

Для дизъюнкции, так же как и для конъюнкции, можно указать ряд равносильностей. Для любых А,В, и С имеем:

А? В = В? А (коммутативность дизъюнкции);

(А? В) ? С = А? (В? С) (ассоциативность дизъюнкции).

Свойство ассоциативности дизъюнкции позволяет опускать скобки и писать А? В? С вместо (А? В) ? С.

При помощи таблиц истинности нетрудно установить, что

(А? В) ? С = (А? С) ? (В? С)

(А? В) ? С = (А? С) ? (В?С)

Первое равенство выражает дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции, а второе - дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими отношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности:

Эти отношения называют формулами де Моргана.

Рассмотрим составное высказывание, которое образовано из двух элементарных при помощи слов «если … , то …».

Пусть, например, даны высказывания А: «Вчера было воскресенье» и В: «Я не был на работе». Тогда составное высказывание «Если вчера было воскресенье, то я не был на работе» имеет формулу «Если А, то В».

Высказывание «Если А, то В» называют импликацией высказываний А, В и при помощи символов записывают так: А => B. Высказывание А, входящее в импликацию А=>В, называют условием импликации, а высказывание В - ее заключением.

Поэтому таблица истинности импликации «Если А, то В» имеет вид (см. прил.2 рис.4) .

Из двух высказываний А и В можно составить новое высказывание, которое читается так: «А в том и только в том случае, если В». Это высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А В. Считают, что высказывание А В истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба высказывания А и В ложны. В остальных случаях (т.е. если одно высказывание истинно, а другое высказывание ложно) эквиваленцию считают ложной. Таким образом, таблица истинности для эквиваленции А и В имеет вид (см. прил.2 рис.5) .

1.3 Логические рассуждения

Любое рассуждение состоит из цепочки высказываний, вытекающих друг из друга по определенным правилам. Умение рассуждать, правильно обосновывать свои выводы необходимо людям любой профессии. Рассуждать человек учится с того момента, когда начинает говорить, но целенаправленное обучение логике рассуждений начинается в школе. Уже начальный курс математики предполагает развитие у учащихся навыков проведения сравнения, классификации объектов, анализа фактов, доказательства простейших утверждений. Логичность рассуждений требуется не только для решения математических задач, но и для грамматического анализа, усвоения начал природоведения и т.д. Поэтому учитель начальных классов должен быть знаком с логикой, т.е. с наукой о законах и формах мышления, об общих схемах рассуждений.

Основные типы суждений и умозаключений рассматриваются в классической логике, созданной древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н.э.) .

В логике рассуждения делятся на:

1. правильные;

2. неправильные.

Правильное рассуждение - это рассуждение, в котором соблюдаются все правила и законы логики. Неправильное соображения - это рассуждение, в котором допускаются логических ошибок вследствие нарушения правил или законов логики.

Логические ошибки бывают двух видов:

1. паралогизмы;

2. софизмы.

Паралогизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения неумышленно (по незнанию).

Софизмы - это логические ошибки, которые допускаются в процессах рассуждения намеренно с целью введения в заблуждение оппонента, обоснование ложного утверждения, какой вздор т.д.

Софизмы известны еще с давних времен. Такими соображениями широко пользовались в своей практике софисты. Именно от них и происходит название «софизм» До нашего времени дошли многочисленные примеры рассуждений, которые применяли софисты в различных спорах. Приведем некоторые из них.

Самый известный античный софизм - это рассуждение, получившее название «Рогатый».

Представьте себе ситуацию: один человек хочет убедить другую в том, что та имеет рога. Для этого приводится такое обоснование: «То, чего ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Итак, у тебя есть рога ».

Это размышления на первый взгляд кажется правильным. Но в нем допущено логическую ошибку, которую человек, не разбирается в логике, вряд ли сможет сразу найти.

Приведем еще один пример. В Протагора (основателя школы софистов) был ученик Еватл. Учитель и ученик заключили соглашение, согласно которому Еватл заплатить за обучение лишь после того, как выиграет свой первый судебный процесс. Но, окончив учебу, Еватл не спешил выступать в суде. Терпение у учителя лопнуло, и он подал на своего ученика в суд «Еватл в любом случае должен будет мне заплатить, - размышлял Протагор. - Он либо выиграет этот процесс, или проигрывает его. Если выиграет - заплатить по договоренности; если проиграет - заплатит по приговору суда ». «Ничего подобного, - возражал Еватл. - Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его.

Если выиграю - решение суда освободит меня от платы, если же проиграю - не буду платить по нашей договоренности *.

В этом примере также допускается логическая ошибка. А какая именно - выясним далее.

Основной задачей логики является анализ правильных соображений. Специалисты из логики стремятся выявить и исследовать схемы таких соображений, определить их различные типы и т.д. Неправильные рассуждения в логике анализируются лишь с точки зрения тех ошибок, которые в них допущено.

Следует отметить, что правильность рассуждения еще не означает истинности его посылок и заключения. Вообще логика не занимается определением истинности или ложности посылок и выводов соображений. Но в логике существует такое правило: если соображения построено правильно (в соответствии с правилами и законами логики) и при этом оно опирается на истинные предпосылки, то вывод такого рассуждения всегда будет безусловно истинным. В других случаях истинность вывода не может быть гарантирована.

Так, если соображения построено неправильно, то, даже, несмотря на то, что его предпосылки - истинные, заключение такого рассуждения может быть в одном случае - истинным, а во втором - ложным.

Рассмотрим для примера такие два соображения, которые построены по одной неправильной схеме:

(1) Логика - наука.

Алхимия - не логика.

Алхимия - не наука.

(2) Логика - наука.

Право - не логика.

Право - не наука.

Очевидно, что в первом рассуждении заключение является истинным, но во втором - он неправильный, хотя предпосылки в обоих случаях - истинные утверждения.

Так же нельзя гарантировать истинности выводу соображения, когда хотя бы один из его посылок будет неверным, даже если это рассуждение - правильное.

Правильное рассуждение - рассуждение, в котором одни мысли (выводы) с необходимостью вытекающих из других мнений (посылок).

Примером правильного рассуждения может быть такое умозаключение: «Каждый гражданин Украины должен признать ее Конституцию. Все народные депутаты Украины - граждане Украины. Итак, каждый из них должен признать Конституцию своего государства», а примером истинной мысли - суждение: «Есть граждане Украины, которые не признают крайней мере некоторых статей Конституции своего государства».

Неправильным надо считать такое рассуждение: «Поскольку экономический кризис в Украине явно дает о себе знать после провозглашения ее самостоятельности, то последнее и является причиной этого кризиса». Логическую ошибку такого типа называют «после этого - вследствие этого». Она заключается в том, что временную последовательность событий в подобных случаях отождествляют с причинно. Примером неистинным мнения может быть любое положение, которое не соответствует действительности, скажем, утверждение, будто украинской нации вообще не существует.

Целью познания является получение истинных знаний. Для того чтобы получить такие знания с помощью рассуждений, нужно, во-первых, иметь истинные предпосылки, а во-вторых, правильно их сочетать, рассуждать по законам логики. При использовании ложных посылок допускают фактических ошибок, а при нарушении законов логики, правил построения соображений делают логические ошибки. Фактических ошибок, конечно, надо избегать, что не всегда удается. Что касается логических, то человек высокой интеллектуальной культуры может избежать этих ошибок, поскольку давно уже сформулированы основные законы логически правильного мышления, правила построения рассуждений и даже осмысленно типичные ошибки в рассуждениях.

Логика учит правильно рассуждать, не допускать логических ошибок, отличать правильные рассуждения от неправильных. Она классифицирует правильные соображения с целью их системного осмысления. В этом контексте может возникнуть вопрос: поскольку соображений множество, то можно, выражаясь словами Козьмы Пруткова, охватить безграничное? Да, можно, поскольку логика учит рассуждать, ориентируясь не на конкретное содержание мыслей, которые входят в состав рассуждения, а на схему, структуру рассуждения, форму сочетания этих мыслей. Скажем, форма рассуждения типа «Каждый х у, а данный г является х; следовательно, данный г у» правильная, и знание ее правильности включает в себя значительно более богатую информацию, чем знание правильности отдельного содержательного рассуждения аналогичной формы. А форма рассуждения по схеме «Каждый х у, а г тоже есть у; следовательно, г является х» относится к неправильным. Как грамматика изучает формы слов и их сочетаний в предложении, абстрагируясь от конкретного содержания языковых выражений, так и логика исследует формы мнений и их сочетаний, отвлекаясь от конкретного содержания этих мыслей.

Чтобы выявить форму мысли или соображения, их необходимо формализовать.

Выводы по 1 главе

Исходя из вышесказанного, можно сделать следующие выводы:

1. Логика возникла как раздел философского знания. Основными причинами возникновения являются развитие наук и ораторского искусства. Так как наука основывается на теоретическом мышлении, предполагающем построение умозаключений и доказательств, то возникает необходимость исследования самого мышления как формы познания.

2. В современной науке значение символической логики очень велико. Она находит приложение в кибернетике, нейрофизиологии, лингвистике. Символическая логика является современным этапом в развитии формальной логики. Она изучает процессы рассуждения и доказательства посредством его отображения в логических системах. Таким образом, по своему предмету эта наука является логикой, а по методу - математикой.

Изучив материалы, мы уточнили свои представления о математических понятиях:

Это понятия об идеальных объектах;

Каждое математическое понятие имеет термин, объем и содержание;

Понятиям дают определения; они могут быть явными и неявными. К неявным относят контекстуальные и остенсивные определения;

Изучения понятий происходит из класса в класс с расширенным изучением темы.

При изучении материала, мы познакомились с понятиями, с помощью которых уточнили смысл употребляемых в математике союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно» и «равносильно». Это понятия:

Высказывание;

Элементарные высказывания;

Логические связки;

Составные высказывания;

Конъюнкция высказываний;

Дизъюнкция высказываний;

Отрицание высказываний.

Рассмотрели правила:

Определения значения истинности составного высказывания;

Построения отрицания предложений различной структуры.

Глава 2. Использование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах

2.1 Использование элементов логики в начальном курсе математики

Математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя - полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы развития логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идет без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Баракина В.Т. выделяет следующие требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся при изучении элементов логики в начальной школе:

1. Элементы теории множеств:

Познакомиться со множествами различной природы на конкретных примерах и способами их записи (перечислением);

Научиться выделять элементы множества;

Познакомиться с основными типами отношений между множествами и способом их изображения с помощью кругов Эйлера-Венна;

Научиться выполнять некоторые операции над множествами (объединение, пересечение).

2. Элементы теории высказываний:

Познакомиться с высказыванием на уровне представлений;

Научиться отличать высказывания от других предложений;

Познакомиться с основными видами высказываний;

Научится выполнять некоторые операции над высказываниями (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция).

3. Элементы комбинаторики:

Познакомиться с данным понятием на уровне представлений;

Учиться различать комбинаторные задачи от других типов текстовых задач, рассматриваемых на уроках математики;

Научиться решать задачи на определение числа размещений изn элементов по m элементов.

Элементы логики в начальной школе рассматриваются на уроках как математики, так и информатики. При этом уровень требований к знаниям, умениям и навыкам учащихся, а также содержание обучения по данному разделу несколько отличается в различных программах. Это связанно, прежде всего с тем, что в настоящее время Федеральный Государственный Образовательный Стандарт Начального Общего Образования не предполагает обязательного рассмотрения данной темы в 1-4 классах .

В настоящее время все курсы математики нацелены на развитие учащихся. Так, например, курс Истоминой Н.Б. своей главной целью имеет развитие приемов умственной деятельности учащихся, мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, классификации, аналогии, обобщения.

...

Подобные документы

Изучение курса математической логики. Основа логики – осознание структуры математической науки, ее фундаментальных понятий. Исторический очерк. Равносильность предложений. Отрицание высказываний. Логическое следование.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007

Внеклассная деятельность как одна из форм работы. Педагогические основы изучения математической логики в средней школе в рамках внеучебной деятельности. Анализ существующих методик по формированию у школьников общелогических и логических умений.

курсовая работа , добавлен 19.11.2012

Основы методики изучения математических понятий. Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий. Психолого-педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Психологические аспекты формирования понятий.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007

Лингвистические основы изучения имени прилагательного в начальных классах. Психолого-педагогические основы изучения имени прилагательного в начальных классах. Методика работы над именем прилагательным по системе развивающего обучения Л.В. Занкова.

дипломная работа , добавлен 03.04.2007

Теоретические основы подготовки детей к обучению математике в школе. Вопросы подготовки детей к школе в психолого-педагогической и методической литературе. Понятие, сущность, значение математической готовности к обучению в школе. Программа исследования.

курсовая работа , добавлен 23.10.2008

Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

курсовая работа , добавлен 29.09.2016

Психолого-педагогические основы развития логического мышления младших школьников. Разработка методики решения проблемы формирования логической грамотности учащихся на уроках математики в начальной школе, примеры решения нестандартных арифметических задач.

дипломная работа , добавлен 31.03.2012

Теоретико-методические основы тестовых заданий и его видов. Психолого-педагогические основы. Тесты на уроках математики. Анализ опыта учителей по применению тестовых заданий. Краткая характеристика преимуществ использования тестовой формы контроля.

курсовая работа , добавлен 17.04.2017

Психологические особенности младшего школьника. Приемы и методы использования элементов этимологического анализа на уроках в начальной школе. Особенности обучения грамотному письму младших школьников. Анализ УМК "Русский язык" в начальных классах.

дипломная работа , добавлен 24.03.2015

Развитие речи учащихся на уроках математики. Приемы развития математической речи. Связи между речью, мышлением и языком. Развитие логичности, выразительности, доказательности и точности математической речи. Повышение уровня речевой культуры ученика.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Минская область Борисовский район

Государственное учреждение образования

«Лошницкая районная гимназия»

Исследовательская работа

по математике

Карпович Анна Игоревна, учащаяся 11 класса,

Мелех Алексей Владимирович, учащийся 9 класса,

Демидчик Артём Алексеевич, учащийся 9 класса

Руководитель:

Якименко Иван Викторович, учитель математики

Лошница, 2006-2008

Введение 3

Актуальность выбранной темы 3

Обзор литературы по теме 4

Формирование понятий 4

Степень разработанности проблемы 4

Объект исследования 5

Предмет исследования 5

Постановка целей 5

Постановка задач 5

Основная часть 6

Эмпирическая основа исследования 6

Описание путей и методов исследования 6

1. Изучение библиографии 6

2. Метод проб и ошибок 6

3. Варьирование 7

Результаты исследований 8

Достоверность полученных результатов 8

Заключение 9

Подведение итогов. Выводы 9

Практическая значимость полученных результатов 9

Научная новизна полученных результатов 9

Приложения 10

Приложение 1. Классификация логических игр 10

Приложение 2. Правила игры «Дюжина» 10

Приложение 3. Правила игры «Чёртова дюжина» 10

Приложение 4. Классификация фигур в игре «Дюжина» 11

Приложение 5. Дополнительные фигуры игры «Дюжина» 12

Приложение 6. Фигуры игры «Чёртова дюжина» 17

Литература 18

Введение

Актуальность выбранной темы

Ещё ни один ребёнок, от первоклашки до выпускника, не отказался просто поиграть, особенно вместо или во время урока.

Для этого не нужен особый инвентарь, достаточно тетрадного листа и ручки. Школьные игры просты в исполнении, всегда имеют завершение, гарантируют все три исхода: выиграл, проиграл, ничья.

Однако большинство игр, в которые играют школьники, давно известны, а потому изучены и неинтересны. Например, два сильных игрока никогда не проиграют друг другу в «крестики-нолики». Этот «игровой вакуум» неотвратимо приводит к поиску новизны по одному из направлений:

- в правилах иг ры («Крестики-нолики» до пяти),

- в размерах игрового поля (безразмерные «Уголки»),

- в количестве игроков (перекрёстный «Морской бой»).

В связи с этим мы считаем актуальным придумать, опробовать и исследовать новые игры для школьников.

Актуальность темы исследования подтверждается неослабевающим интересом к шарадам, ребусам, головоломкам, которые служат для школьника человека полигоном по испытанию своих возможностей в решении проблем и задач любой сложности. Другими словами, развивая логику, мы учимся выживать.

Готфрид-Вильгельм Лейбниц отмечал в письме к своему коллеге: «...даже игры, как требующие ловкости, так и основанные на случайности, дают громадный материал для научных занятий. Мало того, самые обыкновенные детские забавы могли бы остановить на себе внимание величайшего математика» (, стр.19-20).

И, наконец, нам не давали покоя лавры Эрне Рубика, изобретателя самой известной (и самой коммерческой!) головоломки – кубика Рубика.

В течение предыдущего года нами была создана игра «Дюжина» (см. Приложение 2 ). Работа над игрой продолжалась в текущем году с целью доработки, исследования игровых комбинаций и разработки новых вариантов игры.

Обзор литературы по теме

Формирование понятий

Логика. 1. Наука о законах мышления и его формах. 2. Ход рассуждений, умозаключений. 3. Разумность, внутренняя закономерность. (, стр.167)

Игра. Занятие чем-то, что служит для развлечения, отдыха, участие в соревнованиях по чему-нибудь. (, стр.127)

Даже при первом сопоставлении бросается в глаза противоречивость этих двух понятий, а уж словосочетание «логические игры» вообще кажется словесным нонсенсом.

На основе вышеприведенных определений логическую игру можно рассматривать как занятие, служащее для развлечения и развития мышления .

В работе будут употребляться термины:

«Бумажная игра» - это игра для двух и более игроков, в которой используется лист бумаги и ручка.

Под «компьютерной игрой» мы будем понимать бумажную или другую логическую игру, для которой существует или может быть создан компьютерный вариант.

Термин «инвентарная игра» понимается как игра, требующая дополнительного, специально изготовленного инвентаря.

«Математическая игра» - игра, для которой требуются математические знания из различных разделов алгебры или геометрии.

«Выигрышная стратегия» трактуется в обычном понимании, то есть как способ ведения игры, неизбежно приводящий к победе.

«Игровой исход» - окончание игры. Возможны три игровых исхода: победа, поражение, ничья.

Степень разработанности проблемы

Изучая литературу по исследуемому вопросу, мы отметили, что, попадая в поле зрения математиков, любой факт, зависимость, явление сразу же измеряется, обсчитывается, классифицируется и так далее.

«Задача о ферзях» (, стр.100) подробно описана в теории и для n=8 доказательно имеет 92 решения (там же).

Древние математические забавы «Игра Баше», «Цзяньшидзы» и «Ним» вообще названы играми, «теория которых разработана с исчерпывающей полнотой» (, стр.59).

Тем не менее, в изученных источниках не встретились даже упоминания о такой известной игре, как «Точки» .

Широко распространённая задача заполнения шахматного поля ходом шахматного коня (, стр.104) рассматривается и для поля nхn, и для поля mхn. Однако в литературе задача имеет только одну вариацию для урезанного поля 9х9 без углов (, стр.20), а значит, может иметь и другие, неисследованные начальные условия.

Вопрос о существовании решений для «Магических квадратов» любого размера до сих пор остается открытым (, стр.25, , стр.89).

Таким образом, исследование в литературе логических игр, задач на смекалку, игровых и занимательных задач не исчерпывает всего многообразия условий и решений, а значит, степень разработанности проблемы можно определить как недостаточную .

Объект исследования

Объектом исследования служат познавательные и креативные интересы учащихся 8-11 классов.

Предмет исследования

Предметом исследования выступает созданная авторами игра «Дюжина» и её продолжение – игра «Чёртова дюжина».

Постановка целей

Целью данного исследования является разработка, апробация и изучение новых логических игр .

Постановка задач

Реализация поставленной цели требует решения следующих конкретных задач:

Изучить литературу по интересующей теме.
Классифицировать выигрышные исходы игры (фигуры).
Улучшить и расширить собственную игру.
Уточнить актуальность и востребованность созданных игр.
Сформулировать рекомендации по созданию игр.

Основная часть

Эмпирическая основа исследования

Эмпирической основой нашего исследования служат результаты, после апробации игры «Дюжина» .

Также сюда следует отнести многочисленные рукописные варианты самой игры, апробированные авторами и респондентами, и мини-турнир, проведенный в рамках недели точных наук.

Описание путей и методов исследования

В ходе выполнения работы использовались следующие методы:

1. Изучение библиографии

На этом этапе при изучении литературы по интересующему вопросу (в основном это книги по занимательной математике) мы искали логические игры и классифицировали их по определённым признакам (см. Приложение 3).

Оказалось, что ни одна из игр не является специфической, т.е. не может относиться только к одному виду.

Например, игра «Пентамино» (, стр.13) состоит в том, чтобы из любых фигурок пентамино (плоская фигура, составленная из пяти равных квадратов) сложить большую фигуру – квадрат, прямоугольник и т.д. Рисуем пентамино на бумаге в клеточку – игра бумажная, вырезаем из картона – инвентарная. Но нам эта игра больше знакома как продолжение компьютерного «Тетриса» – «Пентикс» .

Кроме того, мы ещё раз убедились, что все игры в той или иной степени являются учебными, развивают мыслительные способности игроков.

2. Метод проб и ошибок

Если вкратце описывать правила игра «Дюжина» , кто первым получит одну из заранее оговоренных фигур, тот и выиграл (см. Приложения 2,4,5).

На первый взгляд, при таких правилах игра не может иметь ничейного исхода, ведь завершающий ход делает только один игрок, а не начертить хотя бы одну фигуру при таком разнообразии просто невозможно. Однако оба игрока должны иметь равные шансы, поэтому давайте позволим им сделать равное количество ходов, и тогда они могут «победить оба».

Напомним, что название игра получила по числу рисок, составляющих выигрышную фигуру.

Развитием темы стала компьютерная интерпретация. Игра имеет три электронных варианта: один в MicroSoft Word и два в MicroSoft Excel. Для того чтобы играть в «Дюжину» , необходимо настроить интерфейс Office, для чего удобно создать новую рабочую панель.

3. Варьирование

Метод варьирования состоит в проигрывании (прохождения, продумывания) различных вариантов какой-либо ситуации. Варьирование и есть работа логического мышления . В нашем случае это:

Формулировка самых легких и быстро запоминающихся правил игры,

Определение оптимальных размеров поля,

Увеличение числа возможных фигур.

Пытаясь поставить себя на место лидера или аутсайдера, мы искали выходы из сложившейся на поле позиции. Самым важным в этой работе был поиск возможной выигрышной стратегии , ведь если такая найдется, наша игра спустя какое-то время станет такой же «избитой», как и остальные.

Игровое поле представляет собой набор рисок:

Горизонтальных – 6х7=42,

Вертикальных – 6х7=42,

Диагональных – 2х36=72,

Итого – 2х42+72=156.

Элементарный подсчет – 156:12=13 показывает, что на поле одновременно можно построить 13 фигур, состоящих из требуемых 12 рисок. Кратность общего числа рисок числу 13 стала первой подсказкой к смене правил игры.

^ Генеральными направлениями в варьировании стали следующие изменения правил:

запрет чертить вторую диагональ (значительно ускоряет игру, дает дополнительные возможности для ничейного исхода);
запрет использовать чужие риски (делает игру слишком «прозрачной» для соперника);
изменение размеров поля (увеличение дало отрицательный эффект, при уменьшении теряются некоторые базовые фигуры);
дополнение базового набора выигрышных фигур (асимметричных, невыпуклых многоугольников, незамкнутых фигур);
увеличение числа рисок в базовых фигурах.

Результаты исследований

Именно два последних направления в варьировании дали самые обнадёживающие результаты. Во-первых, многообразие получаемых фигур было настолько велико, что для них пришлось придумать специальную классификацию (см. Приложение 4 ). При этом большинство фигур, получаемых согласно правилам игры – невыпуклые осе-симметричные многоугольники.

Во-вторых, перейдя к несимметричным фигурам, мы ощутили острую необходимость добавить в фигуры ещё одну риску! С добавлением 13-й риски стало трудно получить симметрию. Это сделало игру ещё более захватывающей. Название же новой игры появилось само собой: «Чёртова дюжина ».

Исследование модернизированной игры, возможно, приведёт к значительному изменению правил. Например, если разрешить на поле разные фигуры, в одной партии можно будет «заработать» столько очков, сколько рисок содержит выигрышная фигура. За фигуры разной формы (см. Классификацию) тоже можно ввести бонусные очки и т.д.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов исследования обеспечивается:

практическим подтверждением основных положений исследования (созданная игра – огромный простор для исследований школьников любого возраста) ;
тщательной обработкой полученных в ходе исследования данных (при изменении правил игры рассмотрены все генеральные направления видоизменений игровых исходов и выигрышной стратегии) .

Заключение

Подведение итогов. Выводы

Игра «Дюжина » может быть использована при изучении математики на всех ступенях обучения.
Игра «Чёртова дюжина » является продолжением, логическим развитием игры «Дюжина ».
«Чёртова дюжина » полностью отвечает предъявленным в целеполагании требованиям.
Тема требует развития в виде исследования логических игр.

Практическая значимость полученных результатов

Модернизированная игра имеет практическую ценность

Как учебное средство для:

Математиков (развитие логического мышления, знакомство с геометрическими фигурами).
Информатиков (знакомство с программами MicroSoft Office, навыки работы с «мышью», работа с буфером обмена Office).
Школьников младшей и средней ступени (модернизация игр в рамках исследовательских работ).

- как средство организации досуга для:

Игроков любого возраста (соревнования, турниры).

Научная новизна полученных результатов

Исходная игра «12» и модернизированная игра «13», по сведениям автора, руководителя и респондентов, аналогов не имеют и являются интеллектуальной собственностью их разработчиков.

Приложения

Приложение 1. Классификация логических игр

Инвентарные

(шахматы, шашки, нарды, домино, карточные, дзяньшицзы и др. )

Бумажные

(точки, крестики-нолики в разных вариантах, морской бой и др.)

Учебные (математические)

(магические квадраты, фокусы, шарады, задачи на размещение)

Лингвистические

(«виселица», «крокодил», «скрабл», скан-, кросс-, чайнворды и др.)

Компьютерные

(электронные интерпретации выше названных игр + новые возможности: тетрисы, змейки, пакман и др. динамические)

Приложение 2. Правила игры «Дюжина»

Игра «Дюжина» («Двенадцать») предназначена для школьников 6-16 лет.

Задача игрока – раньше соперника нарисовать заранее оговоренную фигуру, состоящую из 12 рисок. Для получения фигуры можно использовать как свои, так и риски, нарисованные соперником.

Приложение 3. Правила игры «Чёртова дюжина»

Игра «Чёртова дюжина» («Тринадцать») предназначена для школьников 10-17 лет.

Игровое поле представляет собой квадрат 6х6 клеток. Играют двое. Ходом считается прорисовка одной из 4-х рисок: горизонтальной стороны клетки, вертикальной стороны клетки или любой диагонали клетки. Ход можно делать только от уже нарисованной риски. Диагональные риски могут пересекаться.

Задача игрока – раньше соперника нарисовать заранее оговоренную фигуру, состоящую из 13 рисок. Для получения фигуры можно использовать как свои, так и риски, нарисованные соперником.

Бонусом считается получение новой фигуры (по обоюдному согласию игроков).

Приложение 4. Классификация фигур в игре «Дюжина»

По симметричности :

1) осевая симметрия:

сторонняя симметрия (ось симметрии проходит по стороне клетки);
диагональная симметрия (ось симметрии проходит по диагонали клетки);
побочная (ось симметрии проходит внутри клетки).

2) центральная симметрия;

3) универсальная симметрия (сторонняя, диагональная и центральная одновременно);

4) асимметрия.

По выпуклости :

выпуклые;
невыпуклые.

По форме :

геометрические фигуры;
одушевлённые предметы;
неодушевлённые предметы.

Приложение 5. Дополнительные фигуры игры «Дюжина»

сердце

шорты

волк

бумеранг

бабочка

стриж

Приложение 6. Фигуры игры «Чёртова дюжина»

змея

волк

ёжик

самолёт

Литература

Барабанов Е.А. и др. Международный математический конкурс «Кенгуру» в Беларуси - Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2005. – 96 с.; ил.
Баханьков А.Е.; Толковый словарь русского языка. Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2006. – 416 с.
Бондарева Л.А. и др.; задачи со «звездочкой». Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2006. – 159 с.
Германович П.Ю.; Сборник задач по математике на сообразительность. М.: «Учпедгиз», 1960. – 224 с.
Доморяд А.П.; Математические игры и развлечения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. – 264 с.
Жикалкина Т.К.; Игровые и занимательные задания по математике, 2 класс. М.: «Просвещение», 1987. – 62 с.
Кордемский Б.А.; Очерки о математических задачах на смекалку. М.: «Учпедгиз», 1958. – 116 с.
Леман Иоханнес, перевод с немецкого Данилова; Гл. редактор Л.А. Ерлыкин. Увлекательная математика. М.: «Издательство “Знание”, 1985.- 270 с.
Леман Иоганнес; редактор Э.К. Вакулина; 2х2=шутка. М.: «Просвещение» 1974. – 192 с.
Минскин Е.М.; От игры к знаниям: Развивающие и познавательные игры младших школьников. М.: Просвещение, 1982. - 192 с.; ил.
Михайлова З.А.; редактор: Л.Г. Фронина. Игровые занимательные задачи для дошкольников; М.: «Просвещение», 1990. – 95 с.
Петраков И.С.; Математические кружки в 8-10 классах; М.: Просвещение, 1987. – 224 с.
Репкин В.В.; Учебный словарь русского языка. М.: Инфолайн, 1999. – 656 с.: ил.
Соболевский Р.Ф.; Логические и математические игры. Мн., «Нар. асвета», 1977. – 96 с.
Под ред. Хинн О.Г.; Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ М.: ООО «Фирма Издательство АСТ», 1999.- 480 с.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Досчатинская средняя школа

городского округа г. Выкса Нижегородской области

Решение логических задач.

Физико-математическое отделение

Секция математическая

Работу выполнил:

ученица 5 класса

Папотина Елена Сергеевна

научный руководитель:

учитель МБОУ Досчатинская СШ

Рощина Людмила Валерьевна

Нижегородская область

р/п Досчатое

2016г.

Аннотация

Цель данной работы выявить умения рассуждать и делать правильные выводы, при решении логических задач. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику. В работе поставлены следующие задачи:

1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»;

2) изучение основных методов решения логических задач;

3) изучение умения решать логические задачи учащимися 5-7 класса.

Методами исследования данной работы являются:

Сбор и изучение информации.

Обобщение экспериментального и теоретического материала.

Гипотеза : учащиеся нашей школы умеют решать логические задачи.

В ходе написания работы были исследованы типы и способы решения логических задач. Была проведена практическая работа с учениками среднего звена, на то, как они умеют решать логические задачи. Результаты работы показали, что не все учащиеся могут справиться с логическими задачами. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.

2.3 Метод кругов Эйлера

Этот метод является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи . Разберем пример применения данного метода.

Решим задачу 6:

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера

На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.

Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.

Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).

Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.

Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.

2.4 Метод блок- схем

Задача 7. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение. Оформим решение в виде блок схемы:

Ответ: 18 вариантов.

2.5 Истинностные задачи

Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.

Задача 7 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.

Задача 8. Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

а) Петя - второе, Витя - третье;

б) Сергей - второе, Петя - первое;

в) Юра - второе, Витя - четвертое.

Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.

Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.

2.6 Задачи, решаемые с конца.

Есть такой вид логических задач, которые решаются с конца. Рассмотрим пример решения таких задач.

Задача 9. Вася задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое чило задумал Вася.

Решение: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Ответ: Вася задумал число 10.

Глава 3. Изучение умения решать логические задачи.

В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: задачи, решаемые с конца; кто есть кто?; текстовые задачи.

Задачи соответствовали уровню знаний 5-го, 6-го и 7-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты (рис. 1). Рассмотрим полученные результаты более подробно.

*Для 5-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумала число, умножила его на два, прибавила три и получила 17. Какое число я задумала?

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Катя, Соня и Лиза имеют фамилию Васнецова, Ермолаева и Кузнецова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Соня, Лиза и Ермолаева - члены математического кружка, а Лиза и Кузнецова занимаются музыкой?

Задача №3. Текстовая задача.

В школьной спортивной олимпиаде участвовало 124 человека из них мальчиков на 32 больше, чем девочек. Сколько мальчиков и девочек участвовало в олимпиаде.

С задачей типа: «решаемая с конца», справились большинство учащиеся пятых классов. Такие задачи встречаются в учебниках 5-6 классов. С типом тектовых задач, эта задачи более сложные, над ней надо было порассуждать, с ней справились лишь 5 человек. (рис.2)

*Для 6-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал?

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:

Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.

Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.

Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.

Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.

Кто чем занимается?

Задача №3. Текстовая задача. На одной полке в 5 раз больше книг, чем на второй. После того как с первой полки переложили на вторую 12 книг, на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?

Среди учащихся 6-х классов, в количестве 18 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «решаемая с конца» справились все учащиеся 6-ого класса. С задачей №2 , типа «Кто есть кто?» справились 4 человека. С текстовой задачей справился лишь один человек (рис.3).

*Для 7-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии начинающееся на буквы В, П, С, и К. Известно, что 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинаются фамилии каждого?

Задача №3. Метод рассуждений.

Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще 4-х маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?

Среди учащихся 7-х классов, в количестве 20 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «рещаемая с конца» справились 13 учащиеся. С текстовой задачей справился один ученик (рис.4).

Заключение

В ходе исследовательской работы по изучению методов решения логических задач. Поставленные мной цель и задачи считаю выполненными. В первой главе я ознакомилась с понятием логики, как науки, основными этапами её развития и учеными, которые являются её основоположниками. Во-второй главе я изучила различные методы решения логических задач и разобрала их на конкретных примерах. Мной были рассмотрены следующие методы: м етод рассуждений, метод таблиц, метод графов, метод блок-схем, метод кругов Эйлера, истинностные задачи, метод решения задачи с конца. В третьей главе провела практическое исследование среди учеников 5-7 классов, проверив их умения решать логические задачи. Проведенные мною исследования показали следующее. С задачами которые справились большинство учеников, это задачи, решаемые с конца. С задачей «Кто есть кто?» (метод таблиц) справились половина учащихся. Текстовую задачу (метод рассуждений) решили лишь наименьшее количество человек. Я считаю, что моя гипотеза подтвердилась частично, так как половина учащимся тяжело далось решение логических задач.

Логические задачи помогают развивать логическое и образное мышление. У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях. Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению. Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.

Литература

Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 45 стр.

Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 211 стр.

Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //

Математика. -1999. № 26. - С. 27-29.

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук –Москва,: 1948г.

Интернет-ресурсы:

http:// wiki . iteach .

Рис. 3 Анализ работ 6-ого класса.

Рис. 4 Анализ работ 7-го класса

Научная работа: Математическая логика и логика здравого смысла. Методы решения логических задач Методы решения логических задач

Научная работа: Математическая логика и логика здравого смысла. Методы решения логических задач Методы решения логических задач

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Подобные документы

Введение

Актуальность выбранной темы

Обзор литературы по теме

Формирование понятий

Степень разработанности проблемы

Объект исследования

Предмет исследования

Постановка целей

Постановка задач

Основная часть

Эмпирическая основа исследования

Описание путей и методов исследования

1. Изучение библиографии

2. Метод проб и ошибок

3. Варьирование

Результаты исследований

Достоверность полученных результатов

Заключение

Подведение итогов. Выводы

Практическая значимость полученных результатов

Научная новизна полученных результатов

Приложения

Приложение 1. Классификация логических игр

Приложение 2. Правила игры «Дюжина»

Приложение 3. Правила игры «Чёртова дюжина»

Приложение 4. Классификация фигур в игре «Дюжина»

Приложение 5. Дополнительные фигуры игры «Дюжина»

Приложение 6. Фигуры игры «Чёртова дюжина»

Литература

2.3 Метод кругов Эйлера

2.4 Метод блок- схем

2.5 Истинностные задачи

2.6 Задачи, решаемые с конца.

Глава 3. Изучение умения решать логические задачи.

Заключение

Литература